Московский государственный технический университет

имени Н.Э.Баумана

Олимпиада школьников «Шаг в будущее»

XVII физико-математическая олимпиада для учащихся 8-10 классов

МАТЕМАТИКА 1 тур (заочный)

2013-2014 учебный год

8 класс

Задача 1.Сравнить числа  и .

(15 баллов)

Задача 2.Сумма положительных чисел. Вычислите значение суммы, если.

(15 баллов)

Задача 3.В школе 400 учащихся ежедневно покупают завтрак, стоимость которого 30 рублей. Если столовая поднимет цену на завтрак, то повышение на каждые 5 рублей приведет к тому, что 10 школьников начнут носить завтрак из дома. Если, однако, цена станет выше 100 рублей, то никто из учащихся не будет завтракать в столовой. Когда цена была поднята, столовая получила за день на 3200 рублей больше, чем обычно. Сколько школьников перестали покупать завтрак в столовой?

(15 баллов)

Задача 4. Решите в целых числах уравнение .

(15 баллов)

Задача 5. Известно, что прямая lпроходит через точку cкоординатами  иплощадь треугольника, ограниченного на плоскости прямой l, прямой и осью OXравна 4. Найдите уравнение прямойl.

(20баллов)

Задача 6. На сторонах АВ и СВ произвольного треугольника ABCпостроили произвольные параллелограммыABQG и CBEFтак, что прямые GQи EFпересекаются в точке Х. Докажите, что сумма площадей этих параллелограммов равна площади параллелограмма, одна сторона которого совпадает с отрезком АС, а другая параллельна и равна отрезку ВХ.

(20 баллов)